推导牛顿迭代法

Posted by Leafsea

星期六, 2007-06-09 at 3:37 am | 1 views

 深夜失眠，想了一下方程的求根问题。在这里写个牛顿法的小说明。
   牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。

   假定有一个函数y=f（x），方程f(x)=0在 x = r 处有一个根，对于此根，我们先估计一个初始值 Xo（可以是猜测的）。我们现在来得到一个更好的估计值X1。为此趚=Xo处作该曲线的切线，并将其延长与 x 轴相交。切线与x轴的交点通常很接近 r ，我们用它作为下一个估计值X1，求出X1后，用X1代替Xo。重复上述过程，在x=X1处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值X2……这样继续下去，所得出的这个x 轴截距的序列通常迅速接近根r.

    现在再让我们从代数角度看上述过程，我们知道，在初始值Xo处，切线的斜率是f'(x)，切线方程为

   

      注意：牛顿法也有不成功的时候，若ｆ（ｘ）无根，则，序列不收敛。另外，一些函

数图像可能形成随即序列，这就需要其他的辅助条件。    

      附注：f’(x)表示函数f(x)的导函数，f’(xo)则表示函数f(x)在x = xo处的导数